Установлено, что число отличных от нуля канонических коэффициентов квадратичной формы равно ее рангу и не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма A (x , x ) приводится к каноническому виду. На самом деле не меняется и число положительных и отрицательных коэффициентов.

Теорема 11.3 (закон инерции квадратичных форм) . Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду.

Пусть квадратичная форма f ранга r от n неизвестных x 1 , x 2 , …, x n двумя способами приведена к нормальному виду, то есть

f = + + … + –
– … – ,

f = + + … + – – … – . Можно доказать, что k = l .

Определение 11.14. Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится действительная квадратичная форма, называется положительным индексом инерции этой формы; число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции , а их сумма – индексом инерции квадратичной формы или сигнатурой формы f .

Если p – положительный индекс инерции; q – отрицательный индекс инерции; k = r = p + q – индекс инерции.

Классификация квадратичных форм

Пусть у квадратичной формы A (x , x ) индекс инерции равен k , положительный индекс инерции равен p , отрицательный индекс инерции равен q , тогда k = p + q .

Было доказано, что в любом каноническом базисе f = {f 1 , f 2 , …, f n } эта квадратичная форма A (x , x ) может быть приведена к нормальному виду A (x , x ) = + + … + –
– … – , где  1 ,  2 , …,  n координаты вектора x в базисе {f }.

Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы

Утверждение 11.1. A (x , x ), заданная в n V , была знакоопределенной , необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции p , либо отрицательный индекс инерции q , был равен размерности n пространства V .

При этом если p = n , то форма положительно x ≠ 0 A (x , x ) > 0).

Если же q = n , то форма отрицательно определена (то есть для любого x ≠ 0 A (x , x ) < 0).

Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы

Утверждение 11.2. Для того чтобы квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , была знакопеременной (то есть существуют такие x , y что A (x , x ) > 0 и A (y , y ) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы

Утверждение 11.3. Для того чтобы квадратичная форма A (x , x ), заданная в n -мерном векторном пространстве V , была квазизнакопеременной (то есть для любого вектора x или A (x , x ) ≥ 0 или A (x , x ) ≤ 0 и найдется такой ненулевой вектор x , что A (x , x ) = 0) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух соотношений: p < n , q = 0 или p = 0, q < n .

Замечание . Для того чтобы применять эти признаки, квадратичную форму надо привести к каноническому виду. В критерии знакоопределенности Сильвестра 15 этого не требуется.

Нормальный вид квадратичной формы.

Согласно теореме Лагранжа любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. То есть существует диагонализирующий (канонический) базис, в котором матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

где . Тогда в этом базисе квадратичная форма имеет вид

Пусть среди ненулевых элементов имеется положительных и отрицательных, причем . Меняя, в случае необходимости нумерацию базисных векторов, можно всегда добиться того, чтобы в диагональной матрице квадратичной формы первые элементов были положительными, остальные – отрицательными (если , то последние элементов в матрице – нули). В результате квадратичную форму (10.17) можно записать в следующем виде

В результате замены переменных на переменные согласно системе:

квадратичная форма (6.18) примет диагональный вид, в которой коэффициенты при квадратах переменных единицы, минус единицы или нули:

где матрица квадратичной формы (10.19) имеет диагональный вид

Определение 10.9. Запись (10.19) называется нормальным видом квадратичной формы, а диагонализирующий базис, в котором квадратичная форма имеет матрицу (10.20), называется нормализирующим базисом .

Таким образом, в нормальном виде (10.19) квадратичной формы диагональными элементами матрицы (10.20) могут быть единицы, минус единицы или нули, причем располагаются они так, что сначала первыми идут единиц, затем минус единиц, потом нулей (не исключаются случаи обращения в нуль указанных значений , , ).

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 10.3. Всякая квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (10.19) с диагональной матрицей (10.20).

Закон инерции квадратичной формы

Квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду различными способами (методом Лагранжа, методом ортогональных преобразований или методом Якоби). Но, несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики её коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными. Речь идет о так называемых числовых инвариантах квадратичной формы. Одним из числовым инвариантом квадратичной формы является ранг квадратичной формы.

Теорема 10.4 (об инвариантности ранга квадратичной формы) .Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных преобразованиях и равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных чисел матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).

Определение 10.10. Ранг квадратичной формы называется индексом инерции . Число положительных и число () отрицательных чисел в нормальном виде (3) квадратичной формы называются положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы соответственно. При этом список называется сигнатурой квадратичной формы.

Положительный и отрицательный индексы инерции являются числовыми инвариантами квадратичной формы. Справедлива теорема, называемая законом инерции .

Теорема 10.5 (закон инерции) .Канонический вид (10.17) квадратичной формы определён однозначно, то есть сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса (не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду).

□ Утверждение теоремы означает, что если одна и та же квадратичная форма при помощи двух неособенных линейных преобразований

приведена к различным каноническим видам ():

то обязательно , то есть количество положительных коэффициентов совпадает с количеством положительных коэффициентов .

Вопреки утверждению, предположим, что . Так как преобразования (10.21) невырожденные, то выразим из них канонические переменные :

Найдем вектор такой, чтобы соответствующие векторы , имели вид

Для этого представим матрицы и в следующих блочных видах:

где обозначены -матрица, -матрица, -матрица, -матрица.

В результате блочных представлений матриц и составим однородную систему линейных алгебраических уравнений, взяв из (10.22) первые уравнений, а из (10.23) – последние уравнений:

Полученная система содержит уравнений и неизвестных (компонент вектора ). Так как , то , то есть в этой системе число уравнений меньше числа неизвестных, и она имеет бесконечное количество решений, среди которых можно выделить ненулевое решение .

На полученном векторе значения формы имеют разные знаки:

что невозможно. Значит, предположение о том, что неверно, то есть .

Из того, что следует, что сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса. ■

В качестве иллюстрации закона инерции можно показать, что квадратичная форма от трех переменных:

двумя неособенными линейными преобразованиями , с соответствующими матрицами

(первая матрица соответствует методу Лагранжа, вторая – методу ортогональных преобразований) приводится соответственно к двум различным каноническим формам

При этом обе канонические формы имеют одну и ту же сигнатуру

6. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы

Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.

Определение 10.11. Квадратичная форма называется:

положительно определенной

отрицательно определенной , если для всякого ненулевого вектора : ;

неположительно определенной (отрицательно полуопределенной) , если для всякого ненулевого вектора : ;

неотрицательно определенной (положительно полуопределенной) , если для всякого ненулевого вектора : ;

знакопеременной , если существуют ненулевые векторы , : .

Определение 10.12. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными . Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными .

Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому (или нормальному) виду. Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 10.6. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру ( , ). Тогда:

Является положительно определенной ;

Является отрицательно определенной ;

Является неположительно определенной ;

Является неотрицательно определенной ;

Является знакопеременной .). Тогда:неотрицательно определенной при всех ;

Является знакопеременной среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.

Над полем K {\displaystyle K} и e 1 , e 2 , … , e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}} - базис в L {\displaystyle L} .

• Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
• Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения .

Канонический вид

Вещественный случай

В случае, когда K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):

где r {\displaystyle r} - ранг квадратичной формы. В случае невырожденной квадратичной формы p + q = n {\displaystyle p+q=n} , а в случае вырожденной - p + q < n {\displaystyle p+q.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число q {\displaystyle q} (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число p − q {\displaystyle p-q} (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару (p , q) {\displaystyle (p,q)} . Числа p , q , p − q {\displaystyle p,q,p-q} являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра ).

Комплексный случай

В случае, когда K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

где r {\displaystyle r} - ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант - ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Итак, согласно теореме о приведении квадратичной формы, для любой квдратичной формы \(A(x,x)\) существует канонический базис \(\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}\), так что для любого вектора \(x\), \[ x=\sum _{k=1}^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _{k=1}^n \lambda _k\eta _k^2. \] Так как \(A(x,x)\) вещественно-значна, и наши замены базиса также включают только вещественные числа, приходим к выводу, что числа \(\lambda _k\) вещественны. Среди этих чисел есть положительные, отрицательные и равные нулю.

Определение. Число \(n_+\) положительных чисел \(\lambda _k\) называется положительным индексом квадратичной формы \(A(x,x)\) , число \(n_-\) отрицательных чисел \(\lambda _k\) называется отрицательным индексом квадратичной формы , число \((n_++n_-)\) называется рангом квадратичной формы . Если \(n_+=n\), квадратичная форма называется положительной .

Вообще говоря, приведение квадратичной формы к диагональному виду реализуется не единственным образом. Возникает вопрос: зависят ли числа \(n_+\), \(n_-\) от выбора базиса, в котором квдратичная форма диагональна?

Теорема (Закон инерции квадратичных форм). Положительный и отрицательный индексы квадратичной формы не зависят от способа приведения ее к каноническому виду.

Пусть имеется два канонических базиса, \(\{f\}\), \(\{g\}\), так что любой вектор \(x\) представляется в виде: \[ x=\sum_{k=1}^n\eta _kf_k=\sum _{m=1}^n\zeta _mg_m, \] причем \[ A(x,x)=\sum_{k=1}^n\lambda _k\eta _k^2=\sum _{m=1}^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Пусть среди \(\lambda _k\) первые \(p\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нули, среди \(\mu_m\) первые \(s\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нулевые. Нам необходимо доказать, что \(p=s\). Перепишем (71): \[ \sum_{k=1}^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _{m=s+1}^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_{k=p+1}^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _{m=1}^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] так что все слагаемые в обеих частях равенства неотрицательны. Предположим, что \(p\) и \(s\) не равны, например, \(p

Мы доказали, что совпадают положительные индексы. Аналогично можно доказать, что совпадают и отрицательные индексы. ч.т.д.

1. Преобразовать к сумме квадратов квадратичные формы:

а) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.

Пусть L n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j (а ). Пусть в L n задан базис е = (е 1 , е 2 , … , е n ) и пусть А – матрица данной формы в этом базисе. Пусть е 1 = (е 1 1 , е 2 1 , … , е n 1 ) – один из базисов, в котором j (а ) имеет канонический вид, и Т матрица перехода от базиса е к базису е 1 . В базисе е 1 форма j (а ) имеет диагональную матрицу А 1 . По формуле (56) А 1 = Т Т ×А ×Т. Матрицы Т и Т Т невырожденные. Умножение матрицы А на невырожденную матрицу не меняет ранга матрицы А , следовательно, rang A = rang A 1 , т.е. в любом базисе матрица квадратичной формы имеет один и тот же ранг.

Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве L n называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства.

Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение:

Теорема 66. Комплексная квадратичная форма любым невырожденным линейным преобразованием приводится к одному и тому же нормальному виду, состоящему из r квадратов переменных с единичными коэффициентами, т.е. j = х 1 2 + х 2 2 + … + х r 2 .

Если поле Р есть поле действительных чисел, то нормальный вид квадратичной формы будет j (а ) = х 1 2 + х 2 2 + … + х к 2 – х к+1 2 – … – х r 2 .

Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции , разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом .

Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм ). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Доказательство. Пусть j (а ) – квадратичная форма, заданная в базисе е = (е 1 , е 2 , … , е n ) линейного пространства L n над полем R , а = х 1 е 1 + х 2 е 2 + … + х n е n . Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Пусть

j = у 1 2 + у 2 2 + … + у к 2 – у к+1 2 – … – у r 2 =

= z 1 2 + z 2 2 + … + z р 2 – z р+1 2 – … – z r 2 . (*)

Пусть у і = , і = 1, 2, … , n (** ), и z ј = , ј = 1, 2, … , n (***).

Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то их определители отличны от нуля. Достаточно доказать, что к = р. Предположим, что к ¹ р . Не нарушая общности, можно считать, что к < р . Составим систему уравнений у 1 = у 2 = … = у к = z р+1 = … = z r = z r+1 = … = z n = 0. Это система n – р + к линейных однородных уравнений от n неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения. Пусть (х 1 0 , х 2 0 , … , х n 0) – одно из них. Подставив это решение в формулы (**) и (***), вычислим все у і и z ј и подставим их в равенство (*). Получим –(у к+1 0 ) 2 – … – (у r 0 ) 2 = (z 1 0 ) 2 +(z 2 0 ) 2 + … +(z р 0 ) 2 . Это равенство возможно тогда и только тогда, когда у к+1 0 = … = у r 0 = z 1 0 = z 2 0 = … = z р 0 = 0. Получили, что система z 1 = z 2 = … = z р = z р+1 = … = z r = z r+1 = … = z n = 0 имеет ненулевое решение (х 1 0 , х 2 0 , … , х n 0), что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n . Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.

9.5. Положительно определённые квадратичные формы

Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой , если для любого вектора а ¹ 0 имеет место j (а ) > 0.

Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Доказательство. Þ Пусть j (а ) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду

у 1 2 + у 2 2 + … + у к 2 – у к+1 2 – … – у r 2 (*),

в котором либо r < n , либо r = n , но к < n . Пусть преобразование координат, с помощью которого форма приведена к нормальному виду, задаётся формулами у і = (**). Определитель этих формул отличен от нуля. Если r < n, то возьмём у 1 = у 2 = … = у n–1 = 0, у n = 1 и подставим в (**). Получим систему n линейных неоднородных уравнений с n неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Очевидно, это решение не нулевое, поэтому определяет ненулевой вектор а . Но тогда j (а ) = 0, что противоречит определению положительно определённой формы. Аналогично приходим к противоречию и в случае r = n , но к < n . Итак, если форма положительно определённая, то её нормальный вид у 1 2 + у 2 2 + … + у n 2 . Это и значит, что ранг и положительный индекс инерции равны n.

Ü Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.

Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.

Теорема 69 . Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.

Теорема 70 . Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.

Доказательство. Пусть Е n – n -мерное евклидово пространство, е = (е 1 , е 2 , … , е n ) – базис в нём и Г – матрица Грама, задающая скалярное произведение векторов в этом базисе. Если а = х 1 е 1 + х 2 е 2 + … + х n е n , в = у 1 е 1 + у 2 е 2 + … + у n е n , то (а, в ) = х Т ×Г ×у , где х Т – строка координат вектора а , у – столбец координатвектора в . Следовательно, а 2 = (а , а ) = х Т ×Г ×х. Если сравнить с формулой (60), то получим, что х Т ×Г ×х есть квадратичная форма с матрицей Г. В пространстве Е n есть ортонормированный базис. В этом базисе а 2 = х 1 2 + х 2 2 +…+ х n 2 . Но это значит, что при переходе к ортонормированному базису квадратичная форма х Т ×Г ×х приводится к нормальному виду х 1 2 + х 2 2 +…+ х n 2 . По теореме 68 получаем, что форма х Т ×Г ×х является положительно определённой.

Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?

1. 4х 1 2 – х 1 х 2 + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 .

2. 4х 1 х 2 – х 1 х 3 + 2х 2 2 – 4х 2 х 3 + 3х 2 х 4 + 5х 4 2 .

3. 4х 1 2 – 5х 1 х 2 + 3х 2 2 – 2х 2 х 3 + х 3 2 + 4х 2 х 4 – х 4 2 .

Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.

1. 4х 1 2 – х 1 х 2 + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 = (4х 1 2 – х 1 х 2 + ) – + 3х 2 2 – х 2 х 3 + 6х 2 х 4 =